Как найти медиану чисел. Как найти медиану ряда


Как найти медиану ряда | Сделай все сам

Для обобщенной оценки длинного ряда значений используются разные вспомогательные способы и величины. Одной из таких величин является медиана. Правда ее дозволено назвать средним значением ряда , но ее толк и способ ее вычисления отличаются от других вариаций на тему среднего значения.

Инструкция

1. Самым распространенным методом оценить среднюю величину в ряду значений является среднее арифметическое. Дабы его вычислить, надобно сумму всех значений ряда поделить на число этих значений. Скажем, если дан ряд 3, 4, 8, 12, 17, то его среднее арифметическое равно (3 + 4 + 8 + 12 + 17)/5 = 44/5 = 8,6.

2. Еще одно среднее, зачастую встречающееся в математических и статистических задачах, именуется средним гармоническим. Среднее гармоническое от чисел a0, a1, a2… an равно n/(1/a0 + 1/a1 + 1/a2… +1/an). Скажем, для того же ряда , что и в предыдущем примере, среднее гармоническое будет равно 5/(1/3 + 1/4 + 1/8 + 1/12 + 1/17) = 5/(347/408) = 5,87. Среднее гармоническое неизменно поменьше среднего арифметического.

3. Разные средние применяются в различных видах задач. Скажем, если вестимо, что автомобиль 1-й час ехал со скоростью A, а 2-й — со скоростью B, то его средняя скорость за время пути будет равна среднему арифметическому между A и B. Но если знаменито, что автомобиль проехал один километр со скоростью A, а дальнейший — со скоростью B, то, дабы вычислить его среднюю скорость за время пути, необходимо будет взять среднее гармоническое между A и B.

4. Для статистических целей среднее арифметическое представляет комфортную и объективную оценку, но только в тех случаях, когда среди значений ряда нет круто выдающихся. Скажем, для ряда 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 200 среднее арифметическое будет равно 24, 5 — приметно огромнее всех членов ряда , помимо последнего. Видимо, что такую оценку невозможно считать всецело адекватной.

5. В таких случаях следует вычислить медиану ряда . Это средняя величина, значение которой находится ровно посередине ряда так, что все члены ряда , расположенные до медианы — не огромнее нее, а все, расположенные позже — не поменьше. Финально, для этого надобно сначала систематизировать члены ряда по возрастанию.

6. Если в ряду a0… an нечетное число значений, то есть n = 2k + 1, то за медиану принимается член ряда с порядковым номером k + 1. Если же число значений четное, то есть n = 2k, то медианой считается среднее арифметическое членов ряда с номерами k и k + 1.Скажем, в теснее рассмотренном ряду 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 200 десять членов. Следственно, его медиана — среднее арифметическое между пятым и шестым членами, то есть (5 + 6)/2 = 5,5. Эта оценка значительно класснее отражает усредненное значение нормального члена ряда .

Представление «медиана треугольника» встречается еще в курсе геометрии 7-го класса, впрочем ее нахождение вызывает некоторые сложности и у учеников, заканчивающих школу, и у их родителей. В данной статье суперкомпактно будет описан способ, вследствие которому вы сумеете обнаружить медиану произвольного треугольника.

Вам понадобится

Инструкция

1. ля начала вам следует определиться с представлением медианы (узнать, что она обозначает).Посмотрите на произвольный треугольник АВС. ВD-отрезок, тот, что соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны, и есть медиана.Таким образом, вследствие вышеизложенному определению и сопровождающему его рисунку 1 вам должно быть внятно, что всякий треугольник имеет 3 медианы, которые пересекаются внутри этой фигуры.Точка пересечения медиан является центром тяжести треугольника, либо, как его еще называют, центром масс. Вся медиана делится точкой пересечения медиан в отношении 2:1, считая от вершины.Обратите внимание еще на тот факт, что треугольники, на которые будет разбит начальный треугольник, всеми своими медианами имеют идентичные площади.

2. Для того, дабы рассчитать медиану , вам нужно воспользоваться намеренно разработанным алгорифмом. Формула для расчета медианы через стороны треугольника выглядит так, как представлена на рисунке 2,где m(a) — медиана треугольника АВС, соединяющая вершину A с серединой стороны BС,b – сторона АС треугольника АВС,с – сторона АВ треугольника АВС,а – сторона ВС треугольника АВС.Из представленной формулы следует, что зная длины всех медиан треугольника, вы сумеете обнаружить длину всякий его стороны.

3. Если вам необходима формула для нахождения стороны треугольника через его медианы, то она выглядит, как показано на рисунке 3, где:a – сторона ВС треугольника АВС,m(b) — медиана, выходящая из вершины В,m(c)- медиана, выходящая из вершины С,m(a) –медиана, выходящая из вершины А.

4. Для положительного расчета медианы вам нужно ознакомится и с частными случаями, которые могут встречаться при решении уравнений с присутствием в них произвольного треугольника.1. В равностороннем треугольнике, медиана, выходящая из вершины, которую образуют равные стороны, является:- биссектрисой угла, образованного равными сторонами треугольника;-высотой данного треугольника;2. В равностороннем треугольнике все медианы равны. Все медианы являются биссектрисами соответствующих углов и высотами данного треугольника.

Видео по теме

jprosto.ru

Как найти медиану ряда

Содержание

  1. Инструкция

Как найти медиану ряда

Для обобщенной оценки длинного ряда значений применяются различные вспомогательные методы и величины. Одной из таких величин является медиана. Хотя ее можно назвать средним значением ряда, но ее смысл и метод ее вычисления отличаются от других вариаций на тему среднего значения.

Инструкция

  • Самым распространенным способом оценить среднюю величину в ряду значений является среднее арифметическое. Чтобы его вычислить, нужно сумму всех значений ряда разделить на число этих значений. Например, если дан ряд 3, 4, 8, 12, 17, то его среднее арифметическое равно (3 + 4 + 8 + 12 + 17)/5 = 44/5 = 8,6.
  • Еще одно среднее, часто встречающееся в математических и статистических задачах, называется средним гармоническим. Среднее гармоническое от чисел a0, a1, a2… an равно n/(1/a0 + 1/a1 + 1/a2… +1/an). Например, для того же ряда, что и в предыдущем примере, среднее гармоническое будет равно 5/(1/3 + 1/4 + 1/8 + 1/12 + 1/17) = 5/(347/408) = 5,87. Среднее гармоническое всегда меньше среднего арифметического.
  • Различные средние используются в разных видах задач. Например, если известно, что автомобиль первый час ехал со скоростью A, а второй — со скоростью B, то его средняя скорость за время пути будет равна среднему арифметическому между A и B. Но если известно, что автомобиль проехал один километр со скоростью A, а следующий — со скоростью B, то, чтобы вычислить его среднюю скорость за время пути, нужно будет взять среднее гармоническое между A и B.
  • Для статистических целей среднее арифметическое представляет удобную и объективную оценку, но только в тех случаях, когда среди значений ряда нет резко выделяющихся. Например, для ряда 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 200 среднее арифметическое будет равно 24, 5 — заметно больше всех членов ряда, кроме последнего. Очевидно, что такую оценку нельзя считать полностью адекватной.
  • В таких случаях следует вычислить медиану ряда. Это средняя величина, значение которой находится ровно посередине ряда так, что все члены ряда, расположенные до медианы — не больше нее, а все, расположенные после — не меньше. Конечно, для этого нужно вначале упорядочить члены ряда по возрастанию.
  • Если в ряду a0… an нечетное количество значений, то есть n = 2k + 1, то за медиану принимается член ряда с порядковым номером k + 1. Если же количество значений четное, то есть n = 2k, то медианой считается среднее арифметическое членов ряда с номерами k и k + 1.Например, в уже рассмотренном ряду 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 200 десять членов. Следовательно, его медиана — среднее арифметическое между пятым и шестым членами, то есть (5 + 6)/2 = 5,5. Эта оценка гораздо лучше отражает усредненное значение типичного члена ряда.

completerepair.ru

Как найти медиану чисел

В статистике для исследования информации наряду со средним арифметическим показателем используют и такой вид характеристики, как медиана. Медиана представляет собой значение признака, который делит числовой ряд на две равные части. Причем половина чисел до медианы должна быть не больше ее значения, а вторая половина – не меньше. При нахождении медианы определяют месторасположение центральных чисел в заданном ряду.

Инструкция

  • Запишите заданную числовую последовательность. Выполните ее сортировку по возрастанию. В наборе слева направо числа должны располагаться от меньшего значения к большему.
  • Если ряд содержит нечетное количество чисел, за его медиану следует принять значение, стоящее ровно посередине набора. Например, имеется числовая последовательность вида: 400 250 640 700 900 100 300 170 550. В этом наборе числа стоят не по порядку. После его упорядочивания по возрастанию получится следующий ряд: 100 170 250 300 400 550 640 700 900. Как видно, последовательность состоит из 9 значений. Медианой числового набора в данном случае будет являться число 400. Именно от его позиции по одну сторону все числа не больше медианы, а по другую – не меньше.
  • При рассмотрении значений четной последовательности центральными будут уже не один, а два числа: m и k. Найдите эти числа также после упорядочивания набора по возрастанию. Медиана этом случае будет являться средним арифметическим показателем данных значений. Вычислите ее по формуле (m + k)/2. Например, в отсортированном ряду 200 400 600 4000 30000 50000 числа 600 и 4000 занимают центральные позиции. Следовательно, медианой числовой последовательности будет следующее значение: (600 + 4000)/2 = 2300.
  • Если набор значений содержит большое количество данных, вручную довольно сложно его сортировать и определять центр ряда. С помощью небольшой программы легко найти медиану последовательности чисел любой размерности. Пример кода на языке Pascal:var M_ss: array[1..200] of integer;med: real; k, i, j: integer;begin(*Сортировка чисел по возрастанию*)for j:=1 to 200-1 dofor i:=1 to 200-j dobegin if M_ss[i] > M_ss[i+1] thenk:=M[i]; M_ss[i]:=M_ss[i+1]; M_ss[i+1]=k;end;(*Поиск медианы*)if (length(M_ss) mod 2)=0 then med:=( M_ss[trunc(length(M_ss))] + M_ss[trunc(length(M_ss))+1])/2else med:=M_ss[trunc(length(M_ss))];end.В переменной med содержится значение медианы заданного числового массива M_ss.

completerepair.ru

Внеклассный урок - Среднее арифметическое. Среднее геометрическое. Размах. Мода. Медиана

Среднее арифметическое. Среднее геометрическое. Размах. Мода. Медиана

  

Среднее арифметическое ряда чисел – это сумма данных чисел, поделенная на количество слагаемых.

Среднее арифметическое называют средним значением числового ряда.

Пример: Найдем среднее арифметическое чисел 2, 6, 9, 15.

Решение. У нас четыре числа. Значит, надо их сумму разделить на 4. Это и будет среднее арифметическое данных чисел:(2 + 6 + 9 + 15) : 4 = 8.

 

Среднее геометрическое ряда чисел – это корень n-й степени из произведения этих чисел.

Пример: Найдем среднее геометрическое чисел 2, 4, 8.

Решение. У нас три числа. Значит, надо найти корень третьей степени из их произведения. Это и будет среднее геометрическое данных чисел:

3√ 2 · 4 · 8 = 3√64 = 4

 

Размах ряда чисел – это разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.

Пример: Найти размах чисел 2, 5, 8, 12, 33.

Решение: Наибольшее число здесь 33, наименьшее 2. Значит, размах составляет 31:

33 – 2 = 31.

 

Мода ряда чисел – это число, которое встречается в данном ряду чаще других.

Пример: Найти моду ряда чисел 1, 7, 3, 8, 7, 12, 22, 7, 11, 22, 8.

Решение: Чаще всего в этом ряде чисел встречается число 7 (3 раза). Оно и является модой данного ряда чисел.

 

Медиана.

В упорядоченном ряде чисел:

Медиана нечетного количества чисел – это число, записанное посередине.

Пример: В ряде чисел 2, 5, 9, 15, 21 медианой является число 9, находящееся посередине.

 

Медиана четного количества чисел – это среднее арифметическое двух чисел, находящихся посередине.

Пример: Найти медиану чисел 4, 5, 7, 11, 13, 19.

Решение: Здесь четное количество чисел (6). Поэтому ищем не одно, а два числа, записанных посередине. Это числа 7 и 11. Находим среднее арифметическое этих чисел:

(7 + 11) : 2 = 9.

Число 9 и является медианой данного ряда чисел.

 

В неупорядоченном ряде чисел:

Медианой произвольного ряда чисел называется медиана соответствующего упорядоченного ряда.

Пример 1: Найдем медиану произвольного ряда чисел 5, 1, 3, 25, 19, 17, 21.

Решение: Располагаем числа в порядке возрастания:

1, 3, 5, 17, 19, 21, 25.

Посередине оказывается число 17. Оно и является медианой данного ряда чисел.

 

Пример 2: Добавим к нашему произвольному ряду чисел еще одно число, чтобы ряд стал четным, и найдем медиану:

5, 1, 3, 25, 19, 17, 21, 19.

Решение: Снова выстраиваем упорядоченный ряд:

1, 3, 5, 17, 19, 19, 21, 25.

Посередине оказались числа 17 и 19. Находим их среднее значение:

(17 + 19) : 2 = 18.

Число 18 и является медианой данного ряда чисел.

raal100.narod.ru

Среднее арифметическое, размах, мода и медиана числового ряда

Среднее арифметическое, размах, мода и медиана

Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.

Для ряда a1,a1,..,an среднее арифметическое вычисляется по формуле:

\begin{align} & \overline{a}=\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\\ \end{align}

Найдем среднее арифметическое для чисел 5,24, 6,97, 8,56, 7,32 и 6,23.

\begin{align} & \overline{a}=\frac{5,24+6,97+8,56+7,32+6,23}{5}=6.864\\ \end{align}

Размахом ряда чисел называется разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.

Размах ряда 5,24, 6,97, 8,56, 7,32, 6,23 равен 8,56-5,24=3.32

Модой ряда чисел называется число, которое встречается в данном ряду чаще других.

Ряд чисел может иметь более одной моды, а может не иметь моды совсем.

Модой ряда 32, 26, 18, 26, 15, 21, 26 является число 26, встречается 3 раза.

В ряду чисел 5,24, 6,97, 8,56, 7,32 и 6,23 моды нет.

Ряд 1, 1, 2, 2, 3 содержит 2 моды: 1 и 2.

Медианой упорядоченного ряда чисел с нечётным числом членов называется число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда чисел с чётным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.

Медианой произвольного ряда чисел называется медиана соответствующего упорядоченного ряда.

Медиана ряда 4, 1, 2, 3, 3, 1 равна 2.5.

calcs.su

медиана - что это? | Математическая статистика

называется вариант, расположенный в центре ранжированного ряда.

Медиана делит ряд на две равные части таким образом, что по обе стороны от нее находится одинаковое количество единиц совокупности. При этом у одной половины единиц совокупности значение варьирующего признака не больше медианы, у другой - не меньше. .

Для дискретного ряда,

медиану находим по следующему алгоритму:

- ранжируем ряд,

- если выборка содержит нечетное количество элементов, медиана равна (n+1)/2-му элементу,

- если выборка содержит четное количество элементов, медиана лежит между двумя средними элементами выборки и равна среднему арифметическому, вычисленному по этим двум элементам.

Пример 1. Найти медиану дискретного ряда

16,13,15,10,19,22,25,12,18,14,19,14,16,10.

Решение. Ранжируем ряд: 10,10,12,13,14,14,15,16,16,18,19,19,22,25, выборка содержит четное число элементов n=14, следовательно медиана лежит между двумя средними элементами выборки - между 7-элементом и 8-элементом:

10,10,12,13,14,14,15,16,16,18,19,19,22,25

и равна среднему арифметическому этих элементов:

Me=(15+16)/2=15,5

 

Найти медиану дискретного ряда, можно онлайн, с помощью данного калькулятора. Калькулятор автоматически ранжирует ряд и вычисляет медиану.

 

При вычислении медианы для интервального вариационного ряда сначала определяют медианный интервал, в пределах которого находится медиана, а затем — значение медианы по формуле:

Пример 2. Найти  медиану интервального ряда:

Решение:

Медианный интервал находится в возрастной группе 25-30 лет, так как в пределах этого интервала расположена варианта, которая делит совокупность на две равные части

(Σfi/2 = 3462/2 = 1731).

Далее подставляем в формулу необходимые числовые данные и получаем значение медианы:

Это значит что одна половина студентов имеет возраст до 27,4 года, а другая свыше 27,4 года.

ОСОБЕННОСТИ

  • Медиана обладает высокой робастностью, то есть нечувствительностью к неоднородностям и ошибкам выборки.
  • Сумма разностей между членами ряда выборки и медианой меньше, чем сумма этих разностей с любой другой величиной. В том числе с арифметическим средним.

Вычислить медиану в Excel

Можно скачать готовый шаблон для вычисления медианы в Excel

 

 

www.reshim.su

5.5 Мода и медиана. Их вычисление в дискретных и интервальных вариационных рядах

Мода и медиана – особого рода средние, которые используются для изучения структуры вариационного ряда. Их иногда называют структурными средними, в отличие от рассмотренных ранее степенных средних.

Мода – это величина признака (варианта), которая чаще всего встречается в данной совокупности, т.е. имеет наибольшую частоту.

Мода имеет большое практическое применение и в ряде случаев только мода может дать характеристику общественных явлений.

Медиана – это варианта, которая находится в середине упорядоченного вариационного ряда.

Медиана показывает количественную границу значения варьирующего признака, которой достигла половина единиц совокупности. Применение медианы наряду со средней или вместо нее целесообразно при наличии в вариационном ряду открытых интервалов, т.к. для вычисления медианы не требуется условное установление границ отрытых интервалов, и поэтому отсутствие сведений о них не влияет на точность вычисления медианы.

Медиану применяют также тогда, когда показатели, которые нужно использовать в качестве весов, неизвестны. Медиану применяют вместо средней арифметической при статистических методах контроля качества продукции. Сумма абсолютных отклонений варианты от медианы меньше, чем от любого другого числа.

Рассмотрим расчет моды и медианы в дискретном вариационном ряду:

Стаж, лет, X

Число рабочих, чел, f

Накопленные частоты

1

2

2

3

4

6

4

5

(11)

8

4

15

10

1

16

ИТОГО:

16

-

Определить моду и медиану.

Мода Мо = 4 года, так как этому значению соответствует наибольшая частота f = 5.

Т.е. наибольшее число рабочих имеют стаж 4 года.

Для того, чтобы вычислить медиану, найдем предварительно половину суммы частот. Если сумма частот является числом нечетным, то мы сначала прибавляем к этой сумме единицу, а затем делим пополам:

Ме=16/2=8

Медианой будет восьмая по счету варианта.

Для того, чтобы найти, какая варианта будет восьмой по номеру, будем накапливать частоты до тех пор, пока не получим сумму частот, равную или превышающую половину суммы всех частот. Соответствующая варианта и будет медианой.

Ме = 4 года.

Т.е. половина рабочих имеет стаж меньше четырех лет, половина больше.

Если сумма накопленных частот против одной варианты равна половине сумме частот, то медиана определяется как средняя арифметическая этой варианты и последующей.

Вычисление моды и медианы в интервальном вариационном ряду

Мода в интервальном вариационном ряду вычисляется по формуле

где ХМ0 - начальная граница модального интервала,

hм0 – величина модального интервала,

fм0, fм0-1, fм0+1– частота соответственно модального интервала, предшествующего модальному и последующего.

Модальным называется такой интервал, которому соответствует наибольшая частота.

Пример 1

Группы по стажу

Число рабочих, чел

Накопленные частоты

1

2

3

До 2

4

4

2-4

23

27

4-6

20

47

6-8

35

82

8-10

11

93

свыше 10

7

100

ИТОГО:

100

-

Определить моду и медиану.

Решение.

Модальный интервал [6-8], т.к. ему соответствует наибольшая частота f = 35. Тогда:

Хм0=6, fм0=35

hм0=2, fм0-1=20

fм0+1=11

Вывод: Наибольшее число рабочих имеет стаж примерно 6,7 лет.

Для интервального ряда Ме вычисляется по следующей формуле:

где Хме – нижняя граница медиального интервала,

hме – величина медиального интервала,

– половина суммы частот,

fме – частота медианного интервала,

Sме-1 –сумма накопленных частот интервала, предшествующего медианному.

Медианный интервал – такой интервал, которому соответствует кумулятивная частота, равная или превышающая половину суммы частот.

Определим медиану для нашего примера.

Найдем:

т.к 82>50, то медианный интервал [6-8].

Тогда:

Хме =6, fме =35,

hме =2, Sме-1=47,

Вывод: Половина рабочих имеет стаж меньше 6,16 лет, а половина имеет стаж больше, чем 6,16 лет.

studfiles.net