Метод обратной матрицы и как найти обратную матрицу. Как найти расширенную матрицу


Расширенная матрица, формула и примеры

Пусть задана СЛАУ

   

Матрица , составленная из коэффициентов при неизвестных , называется основной матрицей системы или матрицей системы:

   

Матрица , полученная из основной матрицы, дописыванием справа столбца свободных членов, называется расширенной матрицей СЛАУ:

   

Примеры решения задач с расширенными матрицами

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Как найти расширенную матрицу

Матрицей называют таблицу, состоящую из определенных значений и имеющую размерность в n столбцов и m строк. Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) большого порядка может решаться с помощью связанных с ней матриц - матрицы системы и расширенной матрицы. Первая представляет собой массив А коэффициентов системы, стоящих при неизвестных переменных. При добавлении к данному массиву столбца-матрицы В свободных членов СЛАУ получается расширенная матрица (А|В). Построение расширенной матрицы является одним из этапов в решении произвольной системы уравнений.

Инструкция

  • В общем виде систему линейных алгебраических уравнений можно решить методом подстановки, но для СЛАУ большой размерности такое вычисление весьма трудоемко. И чаще в этом случае используют связанные матрицы, в том числе и расширенную.
  • Запишите заданную систему линейных уравнений. Проведите ее преобразование, упорядочив множители в уравнениях таким образом, чтобы одинаковые неизвестные переменные располагались в системе строго друг под другом. Свободные коэффициенты без неизвестных перенесите в другую часть уравнений. При перестановке слагаемых и переносе учитывайте их знак.
  • Определите матрицу системы. Для этого отдельно выпишите коэффициенты, стоящие при искомых переменных СЛАУ. Выписывать нужно в том порядке, как они расположены в системе, т.е. из первого уравнения первый коэффициент поставьте на пересечении первой строки и первого столбца матрицы. Порядок строк новой матрицы соответствует порядку уравнений системы. Если одна из неизвестных системы в данном уравнении отсутствует, значит, ее коэффициент здесь равен нулю – внесите ноль в матрицу на соответствующую позицию строки. Получаемая матрица системы должна быть квадратной (m=n).
  • Найдите расширенную матрицу системы. Свободные коэффициенты в уравнениях системы за знаком равенства выпишите в отдельный столбец, сохраняя тот же порядок строк. В квадратной матрице системы справа от всех коэффициентов поставьте вертикальную черту. За чертой допишите полученный столбец свободных членов. Это и будет расширенная матрица исходной СЛАУ размерностью (m, n+1), где m – число строк, n – число столбцов.

completerepair.ru

Расширенная матрица

a

...

a

 

b

 

 

12

 

 

1n

 

1

 

a22

...

a2n

b2

 

...

...

....

 

B =

 

 

...

 

a

m2

...

a

 

 

b

 

 

 

 

mn

m

 

 

 

a

a

...

a

 

b

 

 

 

 

 

 

 

11

 

12

...

a

1n

 

1

 

А

=

a

21

a

22

2n

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

В

...

...

... ....

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

...

a

 

 

b

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1

 

m2

 

 

mn

 

m

 

 

 

 

 

 

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.

Теорема. Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Теорема. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.

Пример. Решить систему

 

x

+ x

 

+ x

=3

 

1

 

2

3

 

 

 

 

2x1− x2+ x3= 2

 

x +4x

2

+2x

 

=5

 

 

1

 

3

 

Решение

 

1

1

1

 

3

 

1 1

1

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

−1 1

 

2

 

~

 

0

−3

−1

 

−4

 

~

 

 

 

 

 

 

 

1

4

2

 

5

 

 

 

0

3

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

1

 

3

 

 

 

0

3

1

 

4

 

 

 

 

 

0

0

0

 

−2

 

 

 

 

r( A) ≠ r( A| B) система несовместная

Пример. Решить систему

x

− x

 

+3x

= −5

 

1

 

 

2

 

3

 

 

 

3x1− x2− x3=1

 

2x

 

+ x

2

−9x

=14

 

 

1

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение

 

 

1 −1

3

 

−5

 

 

1

−1 3

 

−5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

−1

−1

 

1

 

~

 

0 2

−10

 

16

 

~

 

 

 

 

 

 

 

2

1 −9

 

14

 

 

 

0

3

−15

 

24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 −1 3

 

−5

 

 

1 −1 3

 

−5

 

 

 

 

 

 

 

0

1

−5

 

8

 

~

 

0

1

−5

 

8

 

r(A)= r(A |B)= 2

 

 

 

 

 

 

 

0

1

−5

 

8

 

 

 

0

0

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

совместная система

n =3 −число неизвестных

r < n система неопределенная

1

−1

3

 

−5

x

− x

 

+

3x = −5

 

 

 

0 1

−5

 

8

 

 

 

 

 

~

1

 

2

 

3

 

0

0

0

 

0

 

 

x2−5x3=8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

− x

 

+3x = −5

x

−5c −8 +3c = −5

x

=

2c +3

 

1

2

 

3

 

1

 

1

 

 

 

x2 =5c+8

~

 

x2 =5c+8

~ x2 =5c +8

 

 

 

x

 

= c

 

 

x = c

 

 

x

= c

 

 

 

3

 

 

 

3

 

 

3

 

Пример. Решить систему

 

3x

+4x

 

+2x

 

=

8

 

1

 

2

3

 

 

 

2x1−4x2−3x3= −1

 

 

x

+5x

2

+ x

= 0

 

 

 

1

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение

 

 

 

 

 

 

 

 

3 4

2

 

8 − II

 

1

8

5

 

9

 

1

8

5

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

−4

−3

 

 

~

 

2 −4

−3

 

 

−2I ~

 

0

−20

−13

 

−19

 

* (−3) ~

 

 

−1

 

 

−1

 

 

 

 

1

5

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

1

5

1

 

0

− I

 

0

−3

−4

 

−9

* (−20)

1 8 5

 

9

 

 

1

8

5

9

 

1 8

5

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

0

60

39

 

57

 

/ 3 ~

 

0

20

13

19

 

~

 

0

20 13

 

19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

1

 

3

 

 

0

60

80

 

180

 

− II

 

0

0

41123

/ 41

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r(A)= r(A |B)=3= n

система совместная и определенная

studfiles.net

Метод элементарных преобразований (методы Гаусса и Гаусса-Жордана для нахождения обратных матриц).

В первой части был рассмотрен способ нахождения обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений. Здесь же мы опишем иной метод нахождения обратных матриц: с использованием преобразований метода Гаусса и Гаусса-Жордана. Зачастую этот метод нахождения обратной матрицы именуют методом элементарных преобразований.

Метод элементарных преобразований

Для применения этого метода в одну матрицу записывают заданную матрицу $A$ и единичную матрицу $E$, т.е. составляют матрицу вида $(A|E)$ (эту матрицу называют также расширенной). После этого с помощью элементарных преобразований, выполняемых со строками расширенной матрицы, добиваются того, что матрица слева от черты станет единичной, причём расширенная матрица примет вид $\left(E| A^{-1} \right)$. К элементарным преобразованиям в данной ситуации относят такие действия:

  1. Смена мест двух строк.
  2. Умножение всех элементов строки на некоторое число, не равное нулю.
  3. Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на любой множитель.

Применять указанные элементарные преобразования можно разными путями. Обычно выбирают метод Гаусса или метод Гаусса-Жордана. Вообще, методы Гаусса и Гаусса-Жордана предназначены для решения систем линейных алгебраических уравнений, а не для нахождения обратных матриц. Фразу «применение метода Гаусса для нахождения обратной матрицы» здесь нужно понимать как «применение операций, свойственных методу Гаусса, для нахождения обратной матрицы».

Нумерация примеров продолжена с первой части. В примерах №5 и №6 рассмотрено применение метода Гаусса для нахождения обратной матрицы, а в примерах №7 и №8 разобрано использование метода Гаусса-Жордана. Следует отметить, что если в ходе решения все элементы некоторой строки или столбца матрицы, расположенной до черты, обнулились, то обратной матрицы не существует.

Пример №5

Найти матрицу $A^{-1}$, если $A=\left( \begin{array} {ccc} 7 & 4 & 6 \\ 2 & 5 & -4 \\ 1 & -1 & 3 \end{array} \right)$.

Решение

В этом примере будет найдена обратная матрица методом Гаусса. Расширенная матрица, имеющая в общем случае вид $(A|E)$, в данном примере примет такую форму: $ \left( \begin{array} {ccc|ccc} 7 & 4 & 6 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & -4 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$.

Цель: с помощью элементарных преобразований привести расширенную матрицу к виду $\left( E|A^{-1} \right)$. Применим те же операции, что применяются при решении систем линейных уравнений методом Гаусса. Для применения метода Гаусса удобно, когда первым элементом первой строки расширенной матрицы является единица. Чтобы добиться этого, поменяем местами первую и третью строки расширенной матрицы, которая станет такой: $ \left( \begin{array} {ccc|ccc} 1 & -1 & 3 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 5 & -4 & 0 & 1 & 0 \\ 7 & 4 & 6 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right)$.

Теперь приступим к решению. Метод Гаусса делится на два этапа: прямой ход и обратный (подробное описание этого метода для решения систем уравнений дано в примерах соответствующей темы). Те же два этапа будут применены и в процессе отыскания обратной матрицы.

Прямой ход

Первый шаг

С помощью первой строки обнуляем элементы первого столбца, расположенные под первой строкой:

Немного прокомментирую выполненное действие. Запись $II-2\cdot I$ означает, что от элементов второй строки вычли соответствующие элементы первой строки, предварительно умноженные на два. Это действие можно записать отдельно следующим образом:

Точно так же выполняется и действие $III-7\cdot I$. Если возникают сложности с выполнением этих операций, их можно выполнить отдельно (аналогично показанному выше действию $II-2\cdot I$), а результат потом внести в расширенную матрицу.

Второй шаг

С помощью второй строки обнуляем элемент второго столбца, расположенный под второй строкой:

Разделим третью строку на 5:

Прямой ход окончен. Все элементы, расположенные под главной диагональю матрицы до черты, обнулились.

Обратный ход

Первый шаг

С помощью третьей строки обнуляем элементы третьего столбца, расположенные над третьей строкой:

Перед переходом к следующему шагу разделим вторую строку на $7$:

Второй шаг

С помощью второй строки обнуляем элементы второго столбца, расположенные над второй строкой:

Преобразования закончены, обратная матрица методом Гаусса найдена: $A^{-1}=\left( \begin{array} {ccc} -11/5 & 18/5 & 46/5 \\ 2 & -3 & -8 \\ 7/5 & -11/5 & -27/5 \end{array} \right)$. Проверку, при необходимости, можно сделать так же, как и в предыдущих примерах. Если пропустить все пояснения, то решение примет вид:

Ответ: $A^{-1}=\left( \begin{array} {ccc} -11/5 & 18/5 & 46/5 \\ 2 & -3 & -8 \\ 7/5 & -11/5 & -27/5 \end{array} \right)$.

Пример №6

Найти матрицу $A^{-1}$, если $A=\left( \begin{array} {cccc} -5 & 4 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & -2 & 1 \\ 0 & 7 & -4 & -3 \\ 1 & 4 & 0 & 6 \end{array} \right)$.

Решение

Для нахождения обратной матрицы в этом примере будем использовать те же операции, что применяются при решении систем линейных уравнений методом Гаусса. Подробные пояснения даны в примере №5, здесь же ограничимся краткими комментариями. Запишем расширенную матрицу: $\left( \begin{array} {cccc|cccc} -5 & 4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & -2 & 1 &0 &1&0 &0 \\ 0 & 7 & -4 & -3 &0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 4 & 0 & 6 &0 &0 & 0 & 1 \end{array} \right)$. Поменяем местами первую и четвёртую строки данной матрицы: $\left( \begin{array} {cccc|cccc} 1 & 4 & 0 & 6 &0 &0 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & -2 & 1 &0 &1&0 &0 \\ 0 & 7 & -4 & -3 &0 & 0 & 1 & 0\\ -5 & 4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$.

Прямой ход

Преобразования прямого хода завершены. Все элементы, расположенные под главной диагональю матрицы слева от черты, обнулились.

Обратный ход

Обратная матрица методом Гаусса найдена, $A^{-1}=\left( \begin{array} {cccc} -13/14 & -75/8 & 31/8 & 7/2 \\ -19/8 & -117/16 & 49/16 & 11/4 \\ -23/4 & -141/8 & 57/8 & 13/2 \\ 17/8 & 103/6 & -43/16 & -9/4 \end{array} \right)$. Проверку, при необходимости, проводим так же, как и в примерах №2 и №3.

Ответ: $A^{-1}=\left( \begin{array} {cccc} -13/14 & -75/8 & 31/8 & 7/2 \\ -19/8 & -117/16 & 49/16 & 11/4 \\ -23/4 & -141/8 & 57/8 & 13/2 \\ 17/8 & 103/6 & -43/16 & -9/4 \end{array} \right)$.

Пример №7

Найти матрицу $A^{-1}$, если $A=\left( \begin{array} {ccc} 2 & 3 & 4 \\ 7 & 1 & 9 \\ -4 & 5 & -2 \end{array} \right)$.

Решение

Для нахождения обратной матрицы применим операции, характерные методу Гаусса-Жордана. Отличие от метода Гаусса, рассмотренного в предыдущих примерах №5 и №6, состоит в том, что решение осуществляется в один этап. Напомню, что метод Гаусса делится на 2 этапа: прямой ход («делаем» нули под главной диагональю матрицы до черты) и обратный ход (обнуляем элементы над главной диагональю матрицы до черты). Для вычисления обратной матрицы методом Гаусса-Жордана двух стадий решения не потребуется. Для начала составим расширенную матрицу: $(A|E)$:

$$ (A|E)=\left( \begin{array} {ccc|ccc} 2 & 3 & 4 & 1 & 0 & 0\\ 7 & 1 & 9 & 0 & 1 & 0\\ -4 & 5 & -2 &0 & 0 & 1 \end{array} \right) $$

Первый шаг

Обнулим все элементы первого столбца кроме одного. В первом столбце все элементы отличны от нуля, посему можем выбрать любой элемент. Возьмём, к примеру, $(-4)$:

Выбранный элемент $(-4)$ находится в третьей строке, посему именно третью строку мы используем для обнуления выделенных элементов первого столбца:

Сделаем так, чтобы первый элемент третьей строки стал равен единице. Для этого разделим элементы третьей строки расширенной матрицы на $(-4)$:

Теперь приступим к обнулению соответствующих элементов первого столбца:

В дальнейших шагах использовать третью строку уже будет нельзя, ибо мы её уже применили на первом шаге.

Второй шаг

Выберем некий не равный нулю элемент второго столбца и обнулим все остальные элементы второго столбца. Мы можем выбрать любой из двух элементов: $\frac{11}{2}$ или $\frac{39}{4}$. Элемент $\left( -\frac{5}{4} \right)$ выбрать нельзя, ибо он расположен в третьей строке, которую мы использовали на предыдущем шаге. Выберем элемент $\frac{11}{2}$, который находится в первой строке. Сделаем так, чтобы вместо $\frac{11}{2}$ в первой строке стала единица:

Теперь обнулим соответствующие элементы второго столбца:

В дальнейших рассуждениях первую строку использовать нельзя.

Третий шаг

Нужно обнулить все элементы третьего столбца кроме одного. Нам надо выбрать некий отличный от нуля элемент третьего столбца. Однако мы не можем взять $\frac{6}{11}$ или $\frac{13}{11}$, ибо эти элементы расположены в первой и третьей строках, которые мы использовали ранее. Выбор невелик: остаётся лишь элемент $\frac{2}{11}$, который находится во второй строке. Разделим все элементы второй строки на $\frac{2}{11}$:

Теперь обнулим соответствующие элементы третьего столбца:

Преобразования по методу Гаусса-Жордана закончены. Осталось лишь сделать так, чтобы матрица до черты стала единичной. Для этого придется менять порядок строк. Для начала поменяем местами первую и третью строки:

$$ \left( \begin{array} {ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 0 & 0 & 1 & -39/4 & 11/2 & 19/4 \\ 0 & 1 & 0 & 11/2 & -3 & -5/2 \end{array} \right) $$

Теперь поменяем местами вторую и третью строки:

$$ \left( \begin{array} {ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 0 & 1 & 0 & 11/2 & -3 & -5/2 \\ 0 & 0 & 1 & -39/4 & 11/2 & 19/4 \end{array} \right) $$

Итак, $A^{-1}=\left( \begin{array} {ccc} 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 11/2 & -3 & -5/2 \\ -39/4 & 11/2 & 19/4 \end{array} \right)$. Естественно, что решение можно провести и по-иному, выбирая элементы, стоящие на главной диагонали. Обычно именно так и поступают, ибо в таком случае в конце решения не придется менять местами строки. Я привел предыдущее решение лишь с одной целью: показать, что выбор строки на каждом шаге не принципиален. Если выбирать на каждом шаге диагональные элементы, то решение станет таким:

Из последней матрицы имеем: $A^{-1}=\left( \begin{array} {ccc} 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 11/2 & -3 & -5/2 \\ -39/4 & 11/2 & 19/4 \end{array} \right)$

Обратная матрица методом Гаусса-Жордана получена, осталось лишь записать ответ.

Ответ: $A^{-1}=\left( \begin{array} {ccc} 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 11/2 & -3 & -5/2 \\ -39/4 & 11/2 & 19/4 \end{array} \right)$.

Пример №8

Найти матрицу $A^{-1}$, если $A=\left( \begin{array} {cccc} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & 4 & 0 & 1 \\ 0 & 17 & 2 & -3 \\ -1 & 4 & 0 & -1 \end{array} \right)$.

Решение

Для нахождения обратной матрицы применим операции, характерные методу Гаусса-Жордана. Подробные пояснения были даны в примере №7, посему здесь ограничимся краткими комментариями. Итак, расширенная матрица такова: $A=\left( \begin{array} {cccc|cccc} 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 2 & 4 & 0 & 1 & 0 & 1 &0 & 0\\ 0 & 17 & 2 & -3 & 0 & 0 & 1 & 0\\ -1 & 4 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$.

Первый шаг

С помощью первой строки обнуляем соответствующие элементы первого столбца:

Второй шаг

Используя вторую строку обнуляем соответствующие элементы второго столбца:

Третий шаг

Используя третью строку обнуляем соответствующие элементы третьего столбца:

Четвёртый шаг

Используя четвёртую строку обнуляем соответствующие элементы четвёртого столбца:

Итак, $A^{-1}=\left( \begin{array} {cccc} -16/5 & -3/5 & 8/5 & -27/5 \\ 2/5 & 1/5 & -1/5 & 4/5 \\ 19/5 & 2/5 & -7/5 & 23/5 \\ 24/5 & 7/5 & -12/5 & 38/5 \end{array} \right)$. Если пропустить все пояснения, то решение примет вид:

Ответ: $A^{-1}=\left( \begin{array} {cccc} -16/5 & -3/5 & 8/5 & -27/5 \\ 2/5 & 1/5 & -1/5 & 4/5 \\ 19/5 & 2/5 & -7/5 & 23/5 \\ 24/5 & 7/5 & -12/5 & 38/5 \end{array} \right)$.

Примечание

Если в ходе решения диагональный элемент обнулился, то можно поменять местами строки. Например, в матрице $B=\left( \begin{array} {ccccc} 1 & 5 & 11 & 10 & 0\\ 0 & 0 & 9 & 5 & -6\\ 0 & 7 & 1 & -1 & -3\\ 0 & -11 & 8 & -9 & 12\\ 0 & 0 & 6 & -3 & 25 \end{array} \right)$ соответствующие элементы первого столбца обнулены. Нужно переходить к обнулению элементов второго столбца, но $b_{22}=0$. Поменяем местами вторую и третью строки матрицы $B$: $\left( \begin{array} {ccccc} 1 & 5 & 11 & 10 & 0\\ 0 & 7 & 1 & -1 & -3\\ 0 & 0 & 9 & 5 & -6\\ 0 & -11 & 8 & -9 & 12\\ 0 & 0 & 6 & -3 & 25 \end{array} \right)$. Теперь на месте нуля имеем число 7 и далее продолжаем стандартные преобразования метода Гаусса-Жордана.

Если Вас интересует метод вычисления обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений, то изложение данного способа находится в первой части.

math1.ru

Как найти определитель матрицы

Определитель(он же determinant(детерминант)) находится только у квадратных матриц. Определитель есть ничто иное, как значение сочетающее в себе все элементы матрицы, сохранающееся при транспонировании строк или столбцов. Обозначаться он может как det(A), |А|, Δ(A), Δ, где А может быть как матрицей, так и буквой обозначающей ее. Найти его можно разными методами:

Все выше предложенные методы будут разобраны на матрицах размера от трех и выше. Определитель двумерной матрицы находится с помощью трех элементарных математических операций, поэтому ни в один из методов нахождение определителя двумерной матрицы не попадет. Ну кроме как дополнение, но об этом потом.

Найдем определитель матрицы размером 2х2: 

Для того, чтобы найти определитель нашей матрицы, требуется вычесть произведение чисел одной диагонали из другой, а именно , то есть

Примеры нахождения определителя матриц второго порядка

Разложение по строке/столбцу

Выбирается любая строка или столбец в матрице. Каждое число в выбранной линии умножается на (-1)i+j где(i,j - номер строки,столбца того числа) и перемножается с определителем второго порядка, составленного из оставшихся элементов после вычеркивания i - строки и j - столбца. Разберем на матрице

    1. Выберем строку/столбец

Например возьмем вторую строку.

Примечание: Если явно не указано, с помощью какой линии найти определитель, выбирайте ту линию у которой есть ноль. Меньше будет вычислений.

    1. Составим выражение

    Не трудно определить, что знак у числа меняется через раз. Поэтому вместо единиц можно руководствоваться такой таблицей:

      1. Поменяем знак у наших чисел

      1. Найдем определители у наших матриц

      1. Считаем все это

    Решение можно написать так:

    Примеры нахождения определителя разложением по строке/столбцу:

    Метод приведения к треугольному виду(с помощью элементарных преобразований)

    Определитель находится с помощью приведения матрицы к треугольному(ступенчатому) виду и перемножению элементов на главной диагонали

    Треугольной матрицей называется матрица, элементы которой по одну сторону диагонали равны нулю.

    При построении матрицы следует помнить три простых правила:

    1. Каждый раз при перестановке строк между собой определитель меняет знак на противоположный.
    2. При умножении/делении одной строки на не нулевое число, её следует разделить(если умножали)/умножить(если разделяли) на него же или же произвести это действие с полученным определителем.
    3. При прибавлении одной строки умноженной на число к другой строке, определитель не изменяется(умножаемая строка принимает своё исходное значение).

    Попытаемся получить нули в первом столбце, потом во втором. Взглянем на нашу матрицу:

    Та-а-ак. Чтобы вычисления были поприятнее, хотелось бы иметь самое близкое число сверху. Можно и оставить, но не надо. Окей, у нас во второй строке двойка, а на первой четыре.

    Поменяем же эти две строки местами.

    Поменяли строки местами, теперь мы должны либо поменять у одной строки знак, либо в конце поменять знак у определителя. Сделаем это потом.

    Теперь, чтобы получить ноль в первой строке - умножим первую строку на 2.

    Отнимем 1-ю строку из второй.

    Согласно нашему 3-му правилу возващаем исходную строку в начальное положение.

    Теперь сделаем ноль в 3-ей строке. Можем домножить 1-ую строку на 1.5 и отнять от третьей, но работа с дробями приносит мало удовольствия. Поэтому найдем число, к которому можно привести обе строки - это 6.

    Умножим 3-ю строку на 2.

    Теперь умножим 1-ю строку на 3 и отнимем из 3-ей.

    Возвратим нашу 1-ю строку.

    .

    Не забываем, что умножали 3-ю строку на 2, так что потом разделим определитель на 2.

    Один столбец есть. Теперь для того чтобы получить нули во втором - забудем про 1-ю строку - работаем со 2-й строкой. Домножим вторую строку на -3и прибавим к третьей.

    Не забываем вернуть вторую строку.

    Вот мы и построили треугольнаую матрицу. Что нам осталось ? А осталось перемножить числа на главной диагонали, чем и займемся.

    Ну и осталось вспомнить, что мы должны разделить наш определитель на 2 и поменять знак.

    Правило Саррюса(Правило треугольников)

    Правило Саррюса применимо только к квадратным матрицам третьего порядка.

    Определитель вычисляется путем добавления первых двух столбцов справа от матрицы, перемножением элементов диагоналей матрицы и их сложением, и вычитанием суммы противоположных диагоналей. Из оранжевых диагоналей вычитаем фиолетовые.

    У правила треугольников то же, только картинка другая.

    Пример

    Теорема Лапласа см. Разложение по строке/столбцу

    Наверх

    kak-reshit.su

    Метод обратной матрицы и как найти обратную матрицу

    Решать систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы («найти обратную матрицу») - это не самый удобный способ, но он существует. Нахождение обратной матрицы применимо, если определитель, будучи составлен из коэффициентов при переменных, 0.

    Для примера возьмем опять же знакомую нам систему:

    Запишем эту систему в матричной форме

    A * X = B

    Будем искать матицу A1, обратную к матрице А, с помощьюметода Гаусса

    Для этого запишем расширенную матрицу, в которой слева будет находиться наша исходнаяматрица А, а справа - единичная.

    Используя метод Гаусса, постепенно приведем нашу исходную к единичной матрице. Этопреобразование применим ко всей расширенной матрице.

    После приведения левой части расширенной матрицы к единичной, справа окажется матрица,обратная к нашей исходной, а проследить последовательность приведения левой части расширенной матрицы к единичной нам помогут серые выделенные элементы.

    Рассмотрим столбец 1.

    Преобразования матрицы удобнее производить в целых числах, для этого следует прибавитьсоответствующие элементы строки 1 к элементам строки 2:

    Прибавим соответствующие элементы строки 1 к элементам строки 2, помножив их на -3.

    Это приведет к тому, что в левой части расширенной матрицы, все элементы расположенные нижеглавной диагонали = 0.

    Проведем аналогичные преобразования, но уже применительно к элементам матрицы,расположенными выше главной диагонали.

    Рассмотрим столбец 2.

    Разделим элементы строки 2 на -30.

    Прибавим к элементам строки 1 соответствующие элементы строки 2, помноженные на -13.

    Элементы строки 1 разделим на -1.

    Запишем обратную матрицу.

    Теперь вернемся к уравнению, записанному нами в матричной форме.

    A * X = B

    Умножим обе части уравнения на A1

    Произведение исходной матрицы на обратную дает единичную матрицу,т.е. A1 * A = Е, следовательно

    X = A1 * B

    Ответ :

    Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

    reshit.ru

    Как найти матрицу, обратную данной

    Обратная матрица обозначатся А^(-1). Она существует для каждой невырожденной квадратной матрицы А (определитель |A| не равен нулю). Определяющее равенство – (А^(-1))А=А А^(-1)=Е, где Е - единичная матрица.

    Вам понадобится

    • - бумага;
    • - ручка.

    Инструкция

    • Метод Гаусса заключается в следующем. Первоначально записывается данная по условию матрица А. Справа к ней добавляется расширение, состоящее из единичной матрицы. Далее выполняется последовательное эквивалентное преобразование строк А. Действие осуществляется до тех пор, пока слева не образуется единичная матрица. Матрица, появившаяся на месте расширенной матрицы (справа) и будет являться А^(-1). При этом стоит придерживаться следующей стратегии: сперва необходимо добиться нулей снизу главной диагонали, а затем сверху.Данный алгоритм прост при написании, но на практике к нему необходимо привыкнуть. Однако в последствие вы сможете выполнять большую часть действий в уме. Поэтому в примере все действия будут выполняться крайне подробно (вплоть до отдельного выписывания строк).
    • Пример. Дана матрица (см. рис.1). Для наглядности в искомую матрицу сразу же добавлено ее расширение. Найти матрицу, обратную данной. Решение. Все элементы первой строки умножьте на 2. Получите: (2 0 -6 2 0 0). Полученный результат необходимо вычесть из всех соответствующих элементов второй строки. В итоге у вас должны быть следующие значения: (0 3 6 -2 1 0). Поделив данную строку на 3, получите (0 1 2 -2/3 1/3 0). Запишите эти значения в новой матрице во вторую строку.

    • Целью этих операций является получение «0» на пересечении второй строки и первого столбца. Таким же образом следует получить «0» на пересечении третей строки и первого столбца, но там уже «0», поэтому переходите к следующему этапу.Необходимо сделать «0» на пересечении третей строки и второго столбца. Для этого разделите вторую строку матрицы на «2», а затем вычтете полученное значение из элементов третей строки. Полученное значение имеет вид (0 1 2 -2/3 1/3 0 ) – это новая вторая строка.
    • Теперь следует вычесть вторую строку из третьей, а полученные значения разделить на «2». В итоге у вас должна получиться следующая строка: (0 0 1 1/3 -1/6 1). В итоге проведенных преобразований, промежуточная матрица будет иметь вид (см.рис.2).Следующий этап – преобразование «2», находящейся на пересечении второй строки и третьего столбца, в «0». Для этого умножьте третью строку на «2», а полученные значение вычитайте из второй строки. В результате новая вторая строка будет содержать следующие элементы:(0 1 0 -4/3 2/3 -1).

    • Теперь умножьте третью строку на «3» и прибавьте полученные значения к элементам первой строки. В итоге получите новую первую строку (1 0 0 2 -1/2 3/2). При этом искомая обратная матрица находится на месте расширения справа (рис.3).

    completerepair.ru