Касательная к графику функции — урок обобщения и систематизации знаний. Найти точку касания прямой и графика функции


Прямая является касательной к графику функции

   Продолжаем рассматривать задачи входящие в состав экзамена по математике. В курсе алгебры есть группа задач, где задаётся уравнение функции и уравнение прямой — касательной к графику данной функции или прямой параллельной этой касательной.

Задачи несложные, но они требуют чёткого понимания геометрического смысла производной. Это теоретическая основа для решения подобных задач (и подобных им), и без этой основы никак нельзя. Рекомендую ознакомиться со статьями «Геометричесий смысл произвоной. Часть 1» и «Геометрический смысл производной. Часть 2».

Рассмотрим две задачи:

Прямая у = 4х + 8 параллельна касательной к графику функции

у = х2 – 5х + 7 

Найдите абсциссу точки касания.

Из геометрического смысла производной мы знаем, что значение производной  в точке касания равно угловому коэффициенту касательной.

Известно, что угловые коэффициенты параллельных прямых равны, значит  угловые коэффициенты прямой  у = 4х + 8 и касательной равны 4.

Угловой коэффициент прямой  вида у = kх + b это число  k.

Таким образом, абсцисса точки касания находится из уравнения:

Значит,

Ответ: 4,5

Второй способ: 

Он предельно прост, но не всегда работает. Строим на координатной плоскости график у = х2 – 5х + 7, строим прямую у = 4х + 8, далее строим (параллельным переносом) параллельную ей прямую касающуюся параболы, и в некоторых задачах вы визуально сможете определить абсциссу точки касания.

Отмечу, что таким способом можно решить задачу, если абсцисса целое число или целое  с половиной, например  1,5; – 2,5; –3,5  и так далее. Если же точка пересечения «непонятна», то есть, нельзя точно и уверенно определить абсциссу (например, визуально сложно определить 3,2; 5,7 …), то точное решение  даст  первый способ. 

Если вы  решили задачу этим способом  и уверены в правильности решения, обязательно сделайте проверку. Подставьте полученную абсциссу в оба исходных уравнения, должны получится равные значения функций (ордината точки пересечения).

Решите самостоятельно:

Прямая у = 7х – 8 параллельна касательной к графику функции

у = х2 + 6х – 8

Найдите абсциссу точки касания.

Посмотреть решение

Прямая у = 6х + 4  является касательной к графику функции 

у = х3 – 3х2 + 9х + 3

Найдите абсциссу точки касания.

Из геометрического смысла производной функции известно, что  она (производная)  равна угловому коэффициенту касательной.

Известно, что угловой коэффициент прямой  вида у = kх + b это число  k.

Значит, угловой коэффициент прямой  у = 6х + 4   равен 6. Таким образом,

Решая квадратное уравнение, получим:

Получили два равных корня.  Таким образом, абсцисса точки касания равна 1.

Ответ: 1

Решите самостоятельно:

Прямая у = – 4х – 11  является касательной к графику функции

у = х3 + 7х2 + 7х – 6 

Найдите абсциссу точки касания

Посмотреть решение

В данной рубрике продолжим рассматривать задачи, не пропустите! 

На этом все. Успехов Вам!

С уважением, Александр Крутицких. 

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

matematikalegko.ru

Абсцисса точки касания.

Задание B9 (№ 27485) из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике.

 Прямая y=7x-5 параллельна касательной  к графику функции y=x2+8x+6. Найдите абсциссу точки касания.

Чтобы выполнить это задание, нам нужно вспомнить теорию.

1. Прямая y=k1x+b1 параллельна       прямой y=k2x+b2, если k1=k2. k1 и k2 - коэффициенты наклона прямых. Коэффициент наклона прямой равен тангенсу угла между этой прямой и положительным направлением оси ОХ:  tg(a)=AB/OA

2. Геометрический смысл производной: значение производной функции у=f(x) в точке x0 равнo угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции у=f(x) в точке x0, то есть         tg(a)=k=f'(x0), где k — угловой коэффициент касательной:            Решение.Так как касательная параллельна прямой y=7x-5, следовательно коэффициент наклона касательной, а, значит, производная функции в точке касания равны 7.Найдем производную функции y=x2+8x+6:

y'(x)=2x+8

Приравняем производную к 7:

y'(x0)=2x0+8=7

В этом уравнении x0 - абсцисса точки касания.Решим уравнение:2x0+8=7x0=-0,5Ответ: -0,5

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Попробуйте скачатьFirefox

ege-ok.ru

Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Задание 7

Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Задание 7.

 

Вспомним определение производной:

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

Исходя из этого определения, рассмотрим, каким образом производная функции  связана с графиком этой функции.

Посмотрите ВИДЕОУРОК, в котором я подробно объясняю, в чем заключается геометрический смысл производной, и как выводится уравнение касательной. А затем мы рассмотрим решение задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике.

 

 

Итак.

Геометрический смысл производной.

Тангенс угла наклона касательной (угловой коэффициент наклона касательной), проведенной к графику функции   в точке    равен производной функции в этой точке:

Заметим, что угол  - это угол между прямой и положительным направлением оси ОХ:

Уравнение касательной к графику функции  в точке  имеет вид:

В этом уравнении:

- абсцисса точки касания,

- значение функции  в точке касания,

- значение производной функции  в точке касания.

Приведем несколько примеров решения задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике, в которых используется знание геометрического смысла производной.

Пример 1. Задание В8 (№ 27504) На рисунке изображены график функции   и касательная к нему в точке с абcцисcой  . Найдите значение производной функции  в точке  .

Значение производной функции  в точке  равно тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси ОХ. Чтобы его найти, выделим прямоугольный треугольник, гипотенуза которого лежит на касательной, а катеты параллельны осям координат. Обозначим точки с целыми координатами буквами  А и В - эти точки выделены на касательной:

Проведем через точку А прямую параллельно оси ОХ, а через точку В - параллельно оси OY. Получим прямоугольный треугольник ABC:

Угол А  треугольника  АВС равен углу между касательной и положительным направлением оси ОХ.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

Длины катетов считаем по количеству клеточек.

Ответ: 0,25

Пример 2. Задание В8 (№ 27506) На рисунке изображены график функции   и касательная к нему в точке с абцисоой  . Найдите значение производной функции  в точке .

Эта задача очень похожа на предыдущую, за исключением того, что здесь касательная  наклонена влево, и угол между касательной и положительным направлением оси ОХ расположен так:

Построим, как предыдущей задаче, прямоугольный треугольник АВС:

Угол А треугольника ABC и угол - смежные, то есть их сумма равна 180 градусов. Значит,

Запомните, если прямая наклонена влево, то коэффициент наклона прямой отрицателен.

Ответ: -0,25

Пример 3. Задание В8 (№ 40129)  На рисунке изображен график функции . Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсцссой 8. Найдите значение производной функции в точке .

Соединим  отрезком точку начала координат с точкой касания:

Производная функции в точке касания равна тангенсу угла  между касательной и положительным направлением оси ОХ:

Чтобы найти тангенс , рассмотрим прямоугольный треугольник АОВ:

 

Ответ: 1,25

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Касательная к графику функции. Задача с параметром.

Задание 7 (№ 119973)  из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике.

Прямая  является касательной к графику функции  . Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

Решение.

Для начала, как обычно,  вспомним теорию, и "вытащим" из условия задачи все факты, которые помогут ее решению.

1.  Так как прямая является касательной к графику функции , следовательно:

а) Производная функции  в точке касания равна коэффициенту наклона прямой  .

То есть y'=-5

Найдем производную функции :

y'=56x+b

Получаем: ,

Так как на значение абсциссы точки касания накладывается дополнительное условие (абсцисса точки касания больше 0), выразим переменную х через параметр 

.

б) Прямая является касательной к параболе, если имеет с ней одну общую точку.

Чтобы найти точку пересечения прямой  и параболы , нужно составить систему уравнений

В конечном итоге, нам нужно определить, при каком значении параметра   эта система имеет единственное решение.

Приравняем правые части уравнений системы:

Перенесем все слагаемые влево и сгруппируем:

Мы получили квадратное уравнение, которое имеет единственный корень, если дискриминант равен нулю. Приравняем дискриминант к нулю:

Решим квадратное уравнение:

Отсюда ,  .

По условию задачи абсцисса точки касания больше 0.

Вспомним, как мы выразили абсциссу точки касания через параметр  :

Подставим значения параметра  в это равенство.

а)  ,    

б)  ,      

Нас устраивает случай б)

Ответ:  

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Попробуйте скачатьFirefox

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Касательная. Задачи на касательную | Статья в журнале «Молодой ученый»

Чтобы правильно и рационально решать задачи, связанные с уравнением касательной, нужно четко понимать, что такое касательная, владеть техникой составления уравнения касательной к графику функции и представлять себе, для решения каких задач (в том числе и задач с параметрами) можно использовать метод касательной.

Опр. 1. Касательной к графику функции у = f(x) называется предельное положение секущей MN при (рис. 1).

Рис. 1

Касательная к кривой может иметь с ней несколько общих точек или пересекать ее. Можно дать и другое определение касательной к кривой.

Опр. 2. Касательной к графику функции у = f(x) в точке A0(x0; f(x0)) называется прямая, проходящая через точку A0, угловой коэффициент которой равен значению производной функции у =f(x) в точке с абсциссой x0.

Уравнение касательной к кривой у = f(x) в точке с абсциссой х0имеет вид: .

Между понятием касательной и понятие производной имеется тесная связь. Геометрический смысл производной можно выразить так: если функция у = f(x) в точке х0 имеет производную, то в точке с этой абсциссой определена касательная к графику функции , причем ее угловой коэффициент равен . Вывод: если в точке х0 есть производная функции , то в точке с этой абсциссой есть касательная к графику функции и наоборот; если в точке х0 нет производной функции , то в точке с этой абсциссой нет касательной к графику функции и наоборот.

Укажем случаи, когда функция не имеет в точке касательной, и, следовательно, не имеет и производной. Таких случаев три: угловая точка, точка возврата, узловая точка(рис. 2 а, б, в). Особо отметим случай, когда в точке функция имеет бесконечную производную (рис. 2 г).

угловая точка точка возврата узловая точка

а) б) в) г)

Рис. 2

Рассмотрим решение некоторых задач.

Задачи, связанные с определением того, является ли прямая у = kx + b касательной к графику функции у = f(x). Можно указать два способа решения таких задач.

  1. Находим общие точки графиков, т. е. решаем уравнение f(x) = kx + b, а затем для каждого из его решений вычисляем . В тех случаях, когда = k, имеет место касание, в других — пересечение.

  2. Находим корни уравнения = k и для каждого из них проверяем, выполняется ли равенство f(x) = kx + b. При его выполнении получаем абсциссы точек касания.

Обобщая оба способа, заметим, что для того чтобы прямая у = kx + b была касательной к графику функции у = f(x), необходимо и достаточно существование хотя бы одного числа х0, для которого выполняется система

  1. При каких значениях b прямая у = 3х +b является касательной к графику функции у =?

Решение. Записав условие касания получим

Ответ: .

  1. При каких значениях а прямая у=ах+2 является касательной к графику функции

Указание.

Ответ: а = e-3

  1. При каких значениях а прямая является касательной к графику функции

Указание.

Ответ: а = 7 или а = -1.

  1. Является ли прямая касательной к графику функции ? Если является, то найти координаты точки касания.

Решение. Пусть . Из условия следует, что должны выполняться равенство , где - возможная абсцисса точки касания. Имеем:

Если теперь составить уравнение касательной к графику заданной функции в каждой из двух найденных точек, то окажется, что в точке как раз и получится . Значит, точка касания имеет координаты (1;-1).

  1. К графику функции проведена касательная, параллельная прямой . Найти ординату точки касания.

Решение. . Абсцисса интересующей нас точки касания удовлетворяет уравнению . Имеем:

Таким образом, . Значит, - абсцисса точки касания. Чтобы найти ординату точки касания преобразуем выражение, задающее функцию:

Ответ: 1.

  1. Написать уравнение всех касательных к графику функции , параллельных прямой .

Решение. Так как касательная должна быть параллельна прямой , то ее угловой коэффициент, равный у'(х0), где х0 — абсцисса точки касания, совпадает с угловым коэффициентом данной прямой, т. е. . Отсюда или . Далее составляем уравнение касательной для каждой точки.

Ответ: ,.

  1. Найти все значения , при каждом из которых касательная к графикам функций и в точках с абсциссой параллельны.

Решение. Известно, что тангенс угла наклона касательной к графику функций в точке с абсциссой равен . Следовательно, все искомые значения будут корнями уравнения , откуда . Используя формулу разности синусов углов, будем иметь . Решая полученное уравнение, получаем

  1. Найти расстояние между касательными к графику функции , расположенными параллельно оси .

Решение. Найдем критические точки заданной функции:

Так как, производная в точках и равна нулю, то касательные, проведенные к кривой в точках с этими абсциссами, параллельны оси . Найдем значения функций в этих точках.

Итак, расстояние d между касательными, параллельными оси , равно

С составлением уравнения касательной, параллельной данной прямой, связана задача о нахождении кратчайшего расстояния между графиком некоторой функции f(x) и прямой .

Во многих случаях удается найти касательную к графику , параллельную данной прямой и делящую плоскость на две части, в одной из которых расположен график функции, а в другой — заданная прямая. Тогда кратчайшим расстоянием между графиком функции и прямой является расстояние от точки М(х0; у0), в которой проведена параллельная касательная, до заданной прямой у = kx + b; это расстояние можно вычислить по формуле

  1. Найти кратчайшее расстояние между параболой и прямой

Решение. Убедившись, что графики не имеют общих точек (уравнение не имеет решений), запишем уравнение такой касательной к графику функции , которая параллельна прямой Уравнение касательной имеет вид касание происходит в точке Прямая у = х – 2 и парабола у = х2 расположены по разные стороны от касательной. Таким образом, кратчайшее расстояние между параболой и прямой равно расстоянию от точки М до прямой .

Ответ:

Довольно сложной является задача составления уравнения всех касательных к графику функции у = f(x), проходящих через заданную точку М(х0; у0), вообще говоря, не лежащую на графике. Приведем алгоритм решения этой задачи.

1. Составляем уравнение касательной к графику функции у = f(x) в произвольной точке графика с абсциссой t:

2. Решаем относительно t уравнение и для каждого его решения t записываем соответствующую касательную в виде .

  1. Написать уравнение всех касательных к графику функции , проходящих через точку М(2; -2).

Указание. Уравнение касательной в точке с абсциссой t имеет вид . Так как эта касательная проходит через точку (2; -2), то , откуда .

Ответ: .

  1. Найти площадь треугольника, образованного касательными, проведенными к графику функции через точку и секущей, проходящей через точки касания.

Указание. Уравнение дает два решения: t1 = 1, t2 = 4. Таким образом, точки K1 (1;1) и K2(4;2) являются точками касания.

Ответ: 0,25.

Говорят, что прямая является общей касательной графиков функции и , если она касается как одного, так и другого графиков (но совершенно не обязательно в одной и той же точке). Например, прямая является общей касательной графиков функций (в точке М(2; 5) и (в точке K(0,5; -1)). Заметим, что графики функций и имеют в точке их пересечения М(х0; у0) общую невертикальную касательную тогда и только тогда, когда .

  1. Доказать, что параболы и имеют в их общей точке общую касательную. Найти уравнение этой общей касательной. Решение. Уравнение имеет единственный корень х=2, т. е. параболы имеют единственную общую точку М(2;0). Убедимся, что значения производных для обеих функций в точке х = 2 равны; действительно, и . Далее составляем уравнение касательной.

Ответ:.

В завершении рассмотрим решение еще нескольких задач на касательную с параметром.

  1. При каких значениях параметра касательная к графику функции в точке проходит через точку (2;3)?

Решение. Составим уравнение касательной к графику заданной функции в точке : Так как эта прямая проходит через точку (2;3), то имеет место равенство , откуда находим: .

  1. Может ли касательная к кривой в какой-либо ее точке составлять острый угол с положительным направлением оси ?

Решение. Найдем производную функции . В любой точке, в которой функция определена, производная отрицательна. Но производная есть тангенс угла наклона касательной, а так как он отрицателен, то угол тупой.

Ответ: Не может.

  1. Найти значение параметра , при котором касательная к графику функции в точке проходит через точку М(1;7).

Решение. Пусть тогда . Составим уравнение касательной:

По условию эта касательная проходит через точку М(1;7), значит, , откуда получаем:

  1. При каких значениях параметра прямая является касательной к графику функции ?

Решение. Из условия следует, что должно выполнятся равенство где абсцисса точки касания. Значит, и связаны между собой равенством (1). Составим уравнение касательной к графику заданной функции в точке

Из условия следует, что должно выполняться равенство . Решив это уравнение, получим . Тогда из (1) получаем, что .

  1. При каком значении прямая является касательной у графику ?

Решение. Так как прямая является касательной к графику функции , то в точке касания угловой коэффициент касательной равен 3. Но угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в этой точке, то есть , откуда , следовательно, - абсцисса точки касания. Найдем теперь из условия равенства значений функций и при . Имеем , откуда .

  1. При каких значениях параметра а касательные к графику функции , проведенные в точках его пересечения с осью оx, образуют между собой угол 60о?

Решение. В этой задаче, как и в предыдущих, речь идет о касательных к графику функции. Составлять уравнение касательной не надо, достаточно использовать геометрический смысл производной, то есть угловые коэффициенты касательных. Графиком данной функции является парабола с ветвями, направленными вверх, пересекающая ось оx в двух точках (случай а=0 нас не устраивает): и учитываем, что х2>0 (рис. 3)

Рис. 3

Касательные АМ и ВМ пересекаются под углом 60о в точке М, лежащей на оси параболы, причем возможны два случая: либо , либо смежный угол равен 60о. в первом случае угол между касательной АО и осью х равен 120о, следовательно, угол коэффициента касательной равен tg120o, то есть равен Далее имеем: . Таким образом, получаем, что , то . Во втором случае , поэтому угол между касательной АО и остью ох равен 150о. Значит, угловой коэффициент касательной равен tg150o , то есть он равен . Таким образом, получаем, что , то есть

Ответ: .

Литература:

  1. Далингер, В.А. Начала математического анализа в задачах [Текст]: учебное пособие / В.А. Далингер. – Омск: Изд-во ГОУ ОМГПУ, 2009. – 312 с.

  2. Звавич, Л.И. Алгебра и начала анализа. 8-11 кл. [Текст]: пособие для школ и классов с углубл. изучением математики / Л. И. Звавич, Л.Я. Шляпочник, М.В. Чинкина.– М.: Дрофа, 1999. – 352 с.

moluch.ru

Ответы по математическому анализу - Стр 13

Далее озвучим геометрический смысл производной, дадим пояснения и графическую иллюстрацию.

После этого перейдем к записи уравнения касательной прямой и приведем подробные решения самых характерных примеров и задач.

В заключении остановимся на нахождении уравнения касательной к кривым второго порядка, то есть, к окружности, эллипсу, гиперболе и параболе.

Навигация по странице.

  • Определения и понятия.

  • Геометрический смысл производной функции в точке.

  • Уравнение касательной прямой.

  • Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе.

Определения и понятия.

Определение.

Углом наклона прямойy=kx+bназывают угол, отсчитываемый от положительного направления оси абсцисс до прямойy=kx+bв положительном направлении (то есть, против часовой стрелки).

На рисунке положительное направление оси абсцисс показано горизонтальной зеленой стрелочкой, положительное направление отсчета угла изображено зеленой дугой, прямая показана синей линией, а угол наклона прямой - красной дугой.

Определение.

Угловым коэффициентом прямойy=kx+bназывают числовой коэффициентk.

Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона прямой, то есть,.

Определение.

Прямую AB, проведенную через две точки графика функцииy=f(x), называютсекущей. Другими словами,секущая– это прямая, проходящая через две точки графика функции.

На рисунке секущая прямая ABизображена синей линией, график функцииy=f(x)- черной кривой, угол наклона секущей- красной дугой.

Если принимать во внимание, что угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона (об этом говорили выше), и тангенс угла в прямоугольном треугольнике ABCесть отношение противолежащего катета к прилежащему (это определение тангенса угла), то для нашей секущей будет справедлива серия равенств, где- абсциссы точекАиВ,- соответствующие значения функции.

То есть, угловой коэффициент секущейопределяется равенствомили, ауравнение секущейзаписывается в видеили(при необходимости обращайтесь к разделууравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку).

Секущая прямая разбивает график функции на три части: слева от точки А, отАдоВи справа от точкиВ, хотя может иметь более чем две общих точки с графиком функции.

На рисунке ниже приведены три фактически разных секущих (точки АиВразличны), но они совпадают и задаются одним уравнением.

Нам ни разу не встречались разговоры о секущей прямой для прямой. Но все же, если отталкиваться от определения, то прямая и ее секущая прямая совпадают.

В некоторых случаях секущая может иметь с графиком функции бесконечное число точек пересечения. Например, секущая, определяемая уравнением y=0, имеет бесконечное число общих точек с синусоидой.

Определение.

Касательной к графику функции y=f(x) в точкеназывают прямую, проходящую через точку, с отрезком которой практически сливается график функции при значенияххсколь угодно близких к.

Поясним это определение на примере. Покажем, что прямая y = x+1является касательной к графику функциив точке(1; 2). Для этого покажем графики этих функций при приближении к точке касания(1; 2). Черным цветом показан график функции, касательная прямая показана синей линией, точка касания изображена красной точкой.

Каждый последующий рисунок является увеличенной областью предыдущего (эти области выделены красными квадратами).

Хорошо видно, что вблизи точки касания график функции практически сливается с касательной прямойy=x+1.

А сейчас перейдем к более значимому определению касательной.

Для этого покажем, что будет происходить с секущей АВ, если точкуВбесконечно приближать к точкеА.

Рисунок ниже иллюстрирует этот процесс.

Секущая АВ(показана синей пунктирной прямой) будет стремиться занять положение касательной прямой (показана синей сплошной линией), угол наклона секущей(показан красной прерывистой дугой) будет стремиться к углу наклона касательной(изображен красной сплошной дугой).

Определение.

Таким образом, касательная к графику функции y=f(x) в точке А– это предельное положение секущейABпри.

Вот теперь можно переходить к оописанию геометрического смысла производной функции в точке.

К началу страницы

Геометрический смысл производной функции в точке.

Рассмотрим секущую АВграфика функцииy=f(x)такую, что точкиАиВимеют соответственно координатыи, где- приращение аргумента. Обозначим черезприращение функции. Отметим все на чертеже:

Из прямоугольного треугольника АВСимеем. Так как по определению касательная – это предельное положение секущей, то.

Вспомним определение производной функции в точке: производной функцииy=f(x)в точкеназывается предел отношения приращения функции к приращению аргумента при, обозначается.

Следовательно, , где- угловой коэффициент касательной.

Таким образом, существование производной функции y=f(x)в точкеэквивалентно существованию касательной к графику функцииy=f(x)в точке касания, причемугловой коэффициент касательной равен значению производной в точке, то есть.

Заключаем: геометрический смысл производной функции в точкесостоит в существовании касательной к графику функции в этой точке.

К началу страницы

Уравнение касательной прямой.

Для записи уравнения любой прямой на плоскости достаточно знать ее угловой коэффициент и точку, через которую она проходит. Касательная прямая проходит через точку касания и ее угловой коэффициент для дифференцируемой функции равен значению производной в точке . То есть, из пунктагеометрический смысл производной функции в точкемы можем взять все данные для записи уравнения касательной прямой.

Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точкеимеет вид.

Мы подразумеваем, что существует конечное значение производной , в противном случае касательная прямая либо вертикальна (еслии), либо не существует (если).

В зависимости от углового коэффициента , касательная может быть параллельна оси абсцисс (), параллельна оси ординат (в этом случае уравнение касательной будет иметь вид), возрастать () или убывать ().

Самое время привести несколько примеров для пояснения.

Пример.

Составить уравнение касательной к графику функции в точке(-1;-3)и определить угол наклона.

Решение.

Функция определена для всех действительных чисел (при необходимости обращайтесь к статье область определения функции). Так как(-1;-3)– точка касания, то.

Находим производную (для этого может пригодиться материал статьидифференцирование функции, нахождение производной) и вычисляем ее значение в точке:

Так как значение производной в точке касания есть угловой коэффициент касательной, а он равен тангенсу угла наклона, то .

Следовательно, угол наклона касательной равен , а уравнение касательной прямой имеет вид

Графическая иллюстрация.

Черным цветом показан график исходной функции, касательная прямая изображена синей линией, точка касания - красной точкой. Рисунок справа представляет собой увеличенную область, обозначенную красным пунктирным квадратом на рисунке слева.

Пример.

Выяснить, существует ли касательная к графику функции в точке(1; 1), если да, то составить ее уравнение и определить угол ее наклона.

Решение.

Областью определения функции является все множество действительных чисел.

Находим производную:

При производная не определена, нои, следовательно, в точке(1;1)существует вертикальная касательная, ее уравнение имеет видx = 1, а угол наклона равен.

Графическая иллюстрация.

Пример.

Найти все точки графика функции , в которых:a)касательная не существует;b)касательная параллельна оси абсцисс;c)касательная параллельна прямой.

Решение.

Как всегда начинаем с области определения функции. В нашем примере функция определена на всем множестве действительных чисел. Раскроем знак модуля, для этого рассмотрим два промежутка и:

Продифференцируем функцию:

При x=-2производная не существует, так как односторонние пределы в этой точке не равны:

Таким образом, вычислив значение функции при x=-2, мы можем дать ответ на пункта):, касательная к графику функции не существует в точке(-2;-2).

b)Касательная параллельна оси абсцисс, если ее угловой коэффициент равен нулю (тангенс угла наклона равен нулю). Так как, то нам нужно найти все значениях, при которых производная функции обращается в ноль. Эти значения и будут абсциссами точек касания, в которых касательная параллельна осиOx.

При решаем уравнение, а при- уравнение:

Осталось вычислить соответствующие значения функции:

Поэтому, - искомые точки графика функции.

Графическая иллюстрация.

График исходной функции изображен черной линией, красными точками отмечены найденные точки, в которых касательные параллельны оси абсцисс.

c)Если две прямые на плоскости параллельны, то их угловые коэффициенты равны (об этом написано в статьепараллельные прямые, параллельность прямых). Исходя из этого утверждения, нам нужно найти все точки графика функции, в которых угловой коэффициент касательной равен восьми пятым. То есть, нам нужно решить уравнение. Таким образом, прирешаем уравнение, а при- уравнение.

Дискриминант первого уравнения отрицателен, следовательно, оно не имеет действительных корней:

Второе уравнение имеет два действительных корня:

Находим соответствующие значения функции:

В точках касательные к графику функции параллельны прямой.

Графическая иллюстрация.

График функции изображен черной линией, красной линией показан график прямой , синими линиями показаны касательные к графику функции в точках.

Для тригонометрических функций в силу их периодичности, может существовать бесконечно много касательных прямых, имеющих один угол наклона (одинаковый угловой коэффициент).

Пример.

Написать уравнения всех касательных к графику функции , которые перпендикулярны прямой.

Решение.

Чтобы составить уравнение касательной к графику функции нам достаточно знать ее угловой коэффициент и координаты точки касания.

Угловой коэффициент касательных найдем изусловия перпендикулярности прямых: произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно минус единице, то есть. Так как по условию угловой коэффициент перпендикулярной прямой равен, то.

Приступим к нахождению координат точек касания. Для начала найдем абсциссы, затем вычислим соответствующие значения функции – это будут ординаты точек касания.

При описании геометрического смысла производной функции в точке мы отметили, что. Из этого равенства найдем абсциссы точек касания.

Мы пришли к тригонометрическому уравнению. Просим обратить на него внимание, так как позже мы его используем при вычислении ординат точек касания. Решаем его (при затруднениях обращайтесь к разделу решение тригонометрических уравнений):

Абсциссы точек касания найдены, вычислим соответствующие ординаты (здесь используем равенство, на которое мы просили обратить внимание чуть выше):

Таким образом, - все точки касания. Следовательно, искомые уравнения касательных имеют вид:

Графическая иллюстрация.

На рисунке черной кривой показан график исходной функции на отрезке [-10;10], синими линиями изображены касательные прямые. Хорошо видно, что они перпендикулярны красной прямой. Точки касания отмечены красными точками.

К началу страницы

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе.

До этого момента мы занимались нахождением уравнений касательных к графикам однозначных функций вида y = f(x)в различных точках. Канонические уравнения кривых второго порядка не являются однозначными функциями. Но окружность, эллипс, гиперболу и параболу мы можем представить комбинацией двух однозначных функций и уже после этого составлять уравнения касательных по известной схеме.

Касательная к окружности.

Окружность с центром в точке и радиусомRзадается равенством.

Запишем это равенство в виде объединения двух функций:

Здесь первая функция соответствует верхней полуокружности, вторая - нижней.

Таким образом, чтобы составить уравнение касательной к окружности в точке , принадлежащей верхней (или нижней) полуокружности, мы находим уравнение касательной к графику функции(или) в указанной точке.

Легко показать, что в точках окружности с координатами икасательные параллельны оси абсцисс и задаются уравнениямиисоответственно (на рисунке ниже они показаны синими точками и синими прямыми), а в точкахи- параллельны оси ординат и имеют уравненияисоответственно (на рисунке ниже они отмечены красными точками и красными прямыми).

К началу страницы

Касательная к эллипсу.

Эллипс с центром в точке с полуосямиaиbзадается уравнением.

Эллипс также как и окружность можно задать объединением двух функций - верхнего и нижнего полуэллипса:

Касательные в вершинах эллипса параллельны либо оси абсцисс (на рисунке ниже изображены синими прямыми), либо оси ординат (на рисунке ниже изображены красными прямыми).

Пример.

Написать уравнения касательных к эллипсу в точках с абсциссамиx=2.

Решение.

Найдем сначала ординаты точек касания, соответствующих абсциссам x=2. Для этого подставим значениеx=2в уравнение эллипса и решим полученное уравнение относительноy:

Таким образом, получаем две точки касания и, принадлежащие верхнему и нижнему полуэллипсу соответственно.

Найдем уравнения полуэллипсов, для этого разрешим уравнение эллипса относительноy:

То есть, верхний полуэллипс задается функцией , а нижний -.

Теперь можем действовать по стандартному алгоритму для составления уравнения касательной к графику функции в точке.

Первая касательная в точке :

Вторая касательная в точке :

Графическая иллюстрация.

К началу страницы

Касательная к гиперболе.

Гипербола с центром в точке и вершинамиизадается равенством(рисунок ниже слева), а с вершинамии- равенством(рисунок ниже справа).

studfiles.net

Касательная к графику функции — урок обобщения и систематизации знаний

Разделы: Математика

Цель занятия. Повторить владение техникой составления уравнения касательной к графику функции, систематизировать основные типы задач, при решении которых используется метод касательной.

Оборудование: компьютер; мультимедийный проектор.

Ход занятия

Повторение.

Учащиеся отвечают на вопросы (тексты на экране):

Какие из ниже приведенных определений касательной верные, а какие неверные?

1) Касательная есть предельное положение секущей при

2) Касательная к графику дифференцируемой в точке х0 функции f – это прямая, проходящая через точку (х0;f(x0)) и имеющая угловой коэффициент f \(х0).

3)Касательной к графику функции называется прямая, имеющая с данной кривой единственную общую точку.

Если функция непрерывна в точке, но не имеет в этой точке производной, то какой вывод можно сделать относительно касательной к графику функции в этой точке?

Учащиеся отвечают, что, вообще говоря, неверным является третье определение. В этом случае достаточно привести один пример.

Прямая х=2 имеет с параболой у=(х-1)2 одну общую точку (2;1), но касательной не является. Прямая у=2х-3, проходящая через эту точку, является касательной к графику данной функции.

Покажем это. Мы знаем, что если существует производная функции у=f(x) в точке х0, то существует и касательная к графику этой функции. Уравнение касательной имеет вид:

у= f(x0)+f \(x0)(х-х0)

у \(х)=2х-2, у \(х0)=у \(2)=2, у(х0)=у(2)=1. Уравнение касательной

у=1+2(х-2)=2х-3, у=2х-3.

Ответ на второй вопрос дан в п.19,с.129.Алгебра и начала математического анализа.10-А45 11 классы: учебник для общеобразовательных учреждений с приложением на электронном носителе / [ А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.Н.Дудницын и др.]; под редакцией А.Н. Колмогорова-18-е изд.-М.: Просвещение, 2009 , а именно, если же f \(x0) не существует( как у функции , в точке (0;0), либо вертикальна ( как у графика функции в точке (0;0))

Учитель. На сегодняшнем занятии мы с вами рассмотрим четыре основных типа задач на касательную:

  • составить уравнение касательной к графику функции в точке на этом графике;
  • составить уравнение касательной к графику функции, параллельной данной прямой;
  • составить уравнения касательных к графику данной функции, проходящих через заданную точку;
  • составить уравнения общих касательных для графиков двух функций.

Первые два типа задач вам хорошо известны; решения этих задач рассмотрим на экране.

Задача 1. Составить уравнение касательной к графику функции у=х3-2х+3 в точке А(-1;4), лежащей на графике.

Решение. Уравнение касательной к графику функции f в точке А(х0;f(х0)) имеет вид:

y=f(x0)+f \(x0)(x-x0)

В нашей задаче х0= -1,f(x0)=f(-1)=4, f \(x0)=f \(-1)=.

Подставляя эти числа в уравнение касательной, получим уравнение у=4+(х+1), т.е. у=х+5

Ответ: у=х+5

Задача 2. Написать уравнение всех касательных к графику функции

у=х3-2х+7, параллельных прямой у=х.

Решение. Параллельные прямые имеют равные угловые коэффициенты, поэтому у \(x0)=1, где у \(х0) – значение производной функции у=х3-2х+7,х0- абсцисса точки касания.

Находим у\(х)= 3х2-2, , х0=1 или х0= -1

Для каждой из этих точек составляем уравнение касательной.

y=f(x0)+f \(x0)(x-x0)

x0 =1,f(x0)=f(1)=6;f \(x0)=f \(1)=1; y=6+(x-1)=x+5; y=x+5

x0= -1, f(x0)=f(-1)=8;f \(x0)=f \(-1)=1;у=8+(х+1)=х+9; у=х+9

Ответ: у=х+5,у=х+9

Следующие задачи решаются у доски с записью решений в тетрадях.

Задача 3. Написать уравнение всех касательных к графику функции у=х2—4х+3, проходящих через точку А(3;-2).

Учитель. При решении таких задач составляется уравнение касательной, а затем это уравнение решается относительно х0и для каждого х0 находится соответствующее уравнение касательной.

Решение. Убедимся, что точка А(4;-1) не лежит на графике данной функции.

Действительно, 42-4+3.

Находим f(x0)=-4

Уравнение касательной у=(х-х0)

Так как касательная проходит через точку А(4;-1), то ее координаты удовлетворяют уравнению касательной.

Составим уравнение касательной для каждого значения х0.

При х0=6 имеем f(x0)=15, , у=15+8(х-6)=8х-33, у=8х-33- уравнение первой касательной.

При х0=2 имеем f(x0)=-1, f(х0)=-1,f\(х0)=0, у= -1- уравнение второй касательной. Это уравнение касательной можно составить, учитывая, что вторая координата вершины параболы имеет значение -1.

Ответ: у=8х-33,у= -1

Задача 4. Найдите уравнение всех общих касательных к графикам функций у=3х2-5х-2 и у=2х2-х-6.

Решение. Пусть х=t – абсцисса точки касания всех касательных к графику функции у=3х2-5х-2 .

Уравнение всех касательных к графику этой функции имеет вид:

у=3t2-5t-2+(6t-5)(x-t)

Пусть и – абсцисса всех касательных к графику функции у=2х2-х-6.

Получим уравнение всех касательных:

у=2и2-и-6+(4и-1)(х-и)

Полученные два уравнения задают одну и туже прямую. Следовательно, надо решить систему

Учитывая равенство 6t-5=4u-1, второе уравнение системы запишем в виде

3t2-5t-2-(6t-5)t=2u2-u-6-(4u-1)u

или после упрощения 3t2-2u2-u=0

Из первого уравнения системы .

Подставляя в последнее уравнение, получим (t-2)2=0, t=2, тогда u=2.

Получили уравнение единственной касательной у=7х-14

Ответ: у=7х-14

Учитель. Рассмотрим еще две задачи на касательную. Прежде всего, представляют интерес задачи, где требуется определить является ли прямая у= кх+b касательной к графику функции у=f(x) и как уравнение касательной используется при нахождении площадей фигур.

Задача 5. При каких значениях параметра а прямая у= ах+ касается графика функции .

Решение. Если существует хотя бы одно значение х0, для которого имеет решение система , где х0 - абсциссы общих точек графиков функций у=кх+b и у=f(x), то прямая у=кх+b является касательной к графику у=f(x).

Находим .

Решим систему

Из первого уравнения системы

Подставляя во второе уравнение системы, получим

Откуда

Ответ: а=

Задача 6. Найти площадь треугольника, образованного касательными, проведенными к графику функции f(x)=3x-x2, проходящими через точки А(1;3) и В(1;2).

Решение. Запишем уравнение касательной к графику функции f(x) в точке с абсциссой х0

y=f(x0)+f \(x0)(x-x0)

Точка А(1;3) находится вне параболы, так .

Находим f \(x0)=3-2x, f \(x0)=3-2x0, f(x0)=3x0 – x02.

Тогда уравнение касательной примет вид

или у =

Касательная проходит через точку А(1;3), поэтому

Получили, что через точку А(1;3) проходит две касательные к параболе f(x)=3x-x2, а именно у=3х и у = - х+4.

Точка В(1;2)лежит на параболе, так как 2=, и уравнение касательной имеет вид у=2+(х-1)=х+1

На рис.1 изображена парабола с вершиной ,точками пересечения с осью абсцисс О(0;0),Е(3;0) и касательными, которые образуют треугольник АСD, площадь которого требуется найти.

Рис.1

Найдем координаты точек пересечения касательной у=х+1 с касательными у=3х и у = -х+4. Для этого решим совокупность двух систем

Получили

Теперь найдем длины сторон треугольника ACD по формуле расстояния между двумя точками

,

Для нахождения площади треугольника воспользуемся формулой Герона

Вычислим отдельно:

Далее имеем:

Ответ: 0,5

Задание на дом.

1. Составьте уравнение касательной к графику функции у=х3-2х+3 в точке А(-1;4).

2. Составить уравнения касательных, проведенных к графику функции у = -2х2-х-3 в точках пересечения графика с прямой у = -х-11. Сделать чертеж.

3. Составьте уравнения всех общих касательных к графикам функций

у = х2-х+1 и у=2х2-х+0,5

Для более подготовленных учащихся вместо задачи №1 можно предложить задачу: Вычислить площадь треугольника, образованного тремя касательными, проведенными к графикам функции в точках с абсциссами х1= -2, х2 =2, х3=6

Литература

1. Звавич Л.И. и др.Алгебра и начала анализа: 3600 задач для школьников и поступающих в вузы \ .И.Звавич, Л.Я.Шляпочник,М.В. Чинкина, Дрофа, 1999.\

2.Звавич Л.И. и др. Алгебра и начала анализа. Решение задач письменного экзамена.11кл\Л.И.Звавич, Л.Я.Шляпочник, И.Кулагина.-М.: Дрофа,2000\

3.Кравцев СВ. и др Методы решения задач по алгебре: от простых до самых сложных \С.В. Крацев и др..-М.:Издательство: “Экзамен”, 2005/

4.Нараленков М.И. Вступительные экзамены по математике. Алгебра: как решать задачи: Учебно- практическое пособие \М.И. Нараленков.-М.: Издательство “Экзамен”,2003\

5.Математика. Подготовка к ЕГЭ-2009. Вступительные испытания. Под редакцией Ф.Ф.Лысенко.- Ростов – на – Дону: Легион,2008 (“Готовимся к ЕГЭ”)

6.СадовничийЮ.В. Алгебра. Конкурсные задачи с решениями: учебное пособие \Ю.В.Садовничий.-М.:Издательство “Экзамен”,2007\

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai